Девочки , решила изменить фамилию ребёнка через суд . Какой процесс? С чего начать , куда бежать и сколько времени и денег займёт?
Ребёнок до 16 лет , имеется гринкарта ( по к2 визе)

Когда будете на американское гражданство подавать? На присяге на гражданство дают бумагу по которой можно поменять имя и/или фамилию без всяких затрат. Может гражданства подождет?

Ребёнку скоро в мидл скул , а своей фамилии " стесняется" ( здешние не выговаривают)
Поэтому хочу изменить до перехода .

Обращаться в семейный суд по месту жительства. Могут потребовать разрешение второго родителя на смену имени - в зависимости о вашей ситуации это может быть загвоздкой. Возможно потребуют нанимать адвоката, просто потому что судья будет не знаком(а) с ситуацией смены фамилий у неграждан США. В целом, если вы 3-6 месяцев как живете в вашей местности, и уже имеете гринкарты, то ничего больше не должно помешать. Без адвоката процес может стОить сотню-две долларов. Все различается от каунти к каунти, поэтому - сначала шагайте в местный суд (он у вас может не семейным называться, но обычно это тот же, где разводятся), и там смотрите уже, что надо будет делать именно в вашей ситуации.

Как вариант - можно спросить в школе, можно ли ребенку пользоваться фамилией отчима, либо любой другой, даже без легальной смены этого в суде. По-моему у моей младшей в классе когда-то был такой мальчик, который с фамилией отчима жил, но школьные репорты были на его официальную фамилию. Но это скорее было исключение из правил, и иммигрантам с таким запросом могут не помочь.

Спасибо !
А можно будет не менять имя на родине ? Тоесть тут она на одной фамилии ( как и я) , а на родине на иной ( я тоже не планирую менять о

Это каждый уже по мере необходимости и личных обстоятельств решает. Родины разные могут быть, ситуации с недвижимостью и прочим имуществом тоже разные у всех. Пока собирай информацию и почитывай форум - темы, где про поездки, дома-квартиры, смену документов и прочее спрашивают. Потом посмотришь, что именно тебе лучше сделать.